Задачи на нахождение НОД двух натуральных чисел

          Задача 3. Натуральные числа а и в взаимно просты. Найти все значания

 НОД (ав; а + в).

Решение.

           Т. к. числа а и в взаимно просты, то НОД (а; в) = 1. Значит, НОД (а; а + в) = 1 =

= НОД (ав; а + в) = НОД (в; а + в) = НОД (а; в) = 1.

Воспользовались свойствами:  НОД (а; в) = НОД (а; а + в);  если НОД (а; в) = 1, то

НОД (ас; в) = НОД (с; в);   НОД (а; в) = НОД (в; а + в).

Ответ: 1.

          Задача 4. Натуральные числа а и в взаимно просты. Найти все значания

 НОД (а + в; а² – ав + в²).

Решение.

           Обозначим НОД (а + в; а² – ав + в²) = п = НОД (а² – ав + в²; а + в). Воспользуемся свойством: если а = вq + r,  а, в, q, r – натуральные числа,  то  НОД (а; в) = НОД (в; r).  

а² – ав + в² = (а + в)² – 3ав = (а + в)(а + в) – 3ав, значит,  п = НОД (а + в; 3ав) =

= НОД (ав ∙ 3; а + в).  

Воспользуемся тем, что,    НОД (ав; а + в) = 1 (см. задачу 3) и свойством:

  если НОД (а; в) = 1, то  НОД (ас; в) =  НОД (с; в), получим:  НОД (ав ∙ 3;  а + в) =

 = НОД (3; а + в) = 1 или 3.   

Ответ: 1 или 3.